wieso genau die Sinusschwingung?

Dieses Thema im Forum "Sound / Tutorials" wurde erstellt von praios, 9. September 2009.

  1. praios

    praios -

    Hallo beisammen,

    kennt ihr eine physikalische (oder vll mathematische) Erklärung dafür, warum genau die Sinusschwingung keine Obertöne erzeugt? ich weiss dass sie gleichmäßig ist, aber wieso erzeugen die Ecken z.B. der Rechteckspannung so viele Obertöne? Die Frequenz der Ausgangsschwinung bleibt doch die selbe.
     
  2. herw

    herw -

    Der physikalische Hintergrund ist der Ansatz, dass bei einer Schwingung (z.B. Federpendel) die rückstellende Kraft proportional zur Auslenkung (Elongation s) ist (F=-D·s, lineares Kraftgesetz, D Richtgröße oder Federstärke). Allgemein gilt nach Newton die Formel für die Kraft F einer beschleunigten Bewegung F=m·a (m Masse, a Beschleunigung). Also folgt m·a = -Ds oder m·a+D·s=0. Die Beschleunigung a ist wiederum mathematisch aufzufassen als zweite Ableitung des Weges, hier die Elongation s (Differenzialrechnung).
    Damit ergibt sich eine Gleichung in der wir eine Wegfunktion s suchen, die eine Differenzialgleichung zweiter Ordnung (es taucht höchstens die zweite Ableitung auf) erfüllt. Im Wesentlichen besteht die oben angegebene Gleichung aus einer Summe der ursprünglichen Funktion und ihrer zweiten Ableitung a. Diese Gleichung wird von einer Sinusfunktion erfüllt (erste Ableitung von sinus ist cosinus, zweite Ableitung - sinus).
    Man kann nun davon ausgehen, dass für einfachste mechanische Schwingungen (wie bei einer sehr leicht angezupften Gitarrensaite) annähernd das lineare Kraftgesetz gilt. Insofern ergibt sich zum Beispiel hierfür als gehörter Ton eine Sinusschwingung. Andere Schwingungsformen ergeben sich durch Überlagerungen zusätzlichen Komponenten. Eine Gitarrensaite wird angesehen als eine Kette von vielen harmonischen Schwingern. Für elektrische Schwinger (Hertzscher Oszillator = Schwingkreis aus Spule und Kondensator) gilt ein ähnliches Gesetz für die erzeugten Spannungen, so dass auch dieser eine Sinusschwingung erzeugt.

    Ich hoffe das ist nicht zu viel Fachchinesisch.

    Rechteckschwingung gibt es in der Natur wohl eher nicht. Durch entsprechende Überlagerungen von sehr vielen Sinusschwingungen, kann man eine solche Schwingung „emulieren” (additive Klangmischung). Die Sinusschwingung ist der einfachste Fall und insofern fundamental für das Verständnis komplexer Schwingungen. Die Tonhöhe einer Rechteckschwingung wird von der tiefsten enthaltenen Sinusschwingung erzeugt, da sie die größte Amplitude hat. Das muss nicht so sein, siehe zum Beipiel Klangerzeugung beim Trautonium, wo der höchste Teilton die größte Amplitude besitzt.

    ciao herw
     
  3. martyn

    martyn -

    Die Hoffnung stirbt zuletzt ;-)
     
  4. Moogulator

    Moogulator Admin

    Es ist faktisch die harmonische Schwingung, sobald ein "Zacken" reinkommt, (Obertöne), hast du eine nicht mehr so gleichlaufende Schwingung - zB Rechteck als extrem. Das nur ergänzend zum Verständnis allgemein.
     
  5. praios

    praios -

    danke für die Antwort.

    jetzt fällt mir das ganze wieder ein vom Physikunterricht: Schwinung ist harmonisch, wenn die Auslenkung (der zurückgelegte Weg) S proportional zur Rücktreibenden Kraft F ist. Dann gilt F=-Ds und F=ma
    Dann s´´ ist die zweite Ableitung von a

    --> ms´´ = -Ds

    (bei kreisbewegungen gilt: s(t) = A sin(wt) A= Amplitude; w=Winkelgeschwindigkeit; t=Zeit)

    ableiten --> s´´(t) = Aw^2 (-sin(wt))

    und dann oben einsetzen:

    m Aw^2 (-sin(wt)) = -D A sin(wt) (kürzen!)
    D = mw



    irgentwie so oder?
     
  6. swissdoc

    swissdoc back on duty

    Sin und Cos erfüllen die Bedingungen der Orthogonalität (da gibt es noch viele andere Funktionen, man kann die geradezu "züchten") und man kann damit als Basis einen Funktionenraum aufspannen und dann beliebige Funktionen gegen diese Basis entwickeln. Beschränken uns einfach mal auf periodische Funktionen geht das über Summation mit Amplituden Koeffizienten und Multiplen der Grundfrequenz. Dann ist man schon beim Herrn Fourier.

    Alles weitere im Bronstein oder bei Obi...
     
  7. Jens Groh

    Jens Groh aktiviert

    Am besten gefällt mir:

    Weil Grundton und Obertöne definiert sind als diejenigen sinusförmigen Anteile, aus denen man die Schwingung zusammensetzen kann. Demnach ist ein einzelner Sinus halt nur ein Grundton.
     
  8. swissdoc

    swissdoc back on duty

    genau das habe ich ja geschrieben ;-)
     
  9. herw

    herw -

    Den Bronstein gibt es glaube ich nur noch antiquarisch, besser ist hier Taschenbuch mathematischer Formeln und moderner Verfahren (Stöcker, Harri Deutsch Verlag).
     
  10. swissdoc

    swissdoc back on duty

  11. Jens Groh

    Jens Groh aktiviert

    Das beantwortet aber nicht die ursprüngliche Frage.

    Auch ich habe natürlich die Frage nicht beantwortet. Sondern nur mit dem logischen Kurzschluss gespielt, der bereits darin steckte: Warum besteht eine Schwingung aus den Teilschwingungen, aus denen sie zusammengesetzt ist? (Und warum regnet es immer, wenn es regnet?) Das ist nämlich völlig unabhängig von der Schwingungsform, die man "Obertöne" nennen will.

    Zusammensetzungen gibt es unendlich viele. Das heißt, Grundformen, aus denen man durch eine gewichtete Summe jedes Signal erzeugen kann. Periodische Schwingungsformen, aber auch nichtperiodische.

    Unser Fragesteller wollte sich aber sicher nicht so im Kreis drehen.
    Ich stelle seine Frage mal neu, andersherum: Was könnten wir mit anderen Schwingungsformen NICHT machen, wenn wir sie als Komponenten nehmen würden (um sie dann vielleicht Obertöne zu nennen)?

    Mir fallen bei Sinus-Teilschwingungen an Besonderheiten ein: 1. Sie sind periodisch. (Aber andere, wie die Walsh-Funktionen, sind das auch.) 2. Sie haben alle die gleiche Form, nur gedehnt bzw. gestaucht. (Aber andere, wie die Wavelets, haben das auch.)
    Das reicht irgendwie noch nicht aus. Auch die Ganzzahligkeit der Obertonfrequenzen nicht, sie dürfte bloß eine Folge der Periodizität sein.
    3. Eine beliebige Zeitverschiebung der Gesamtschwingung ergibt keine Änderung der jeweiligen Energie (bzw. Leistung) jedes Sinus-Cosinus-Paars. (Gilt aber nur für das Paar zusammen, nicht für einen Sinus oder Cosinus allein.)
    Ich glaube, diese letzte Eigenschaft ist der eigentliche Knüller. Da fällt mir keine andere Schwingungsform ein.
    Interessanterweise taucht hier eine "Real-World-Connection" auf, nämlich der physikalische Begriff der Energie. Nicht bloß Mathematik!

    Jetzt spiele ich mal damit herum: Was würde eigentlich mit der Musik passieren, WENN wir nun eine andere Zerlegung/Zusammensetzung als "Obertöne" definiert hätten? Also mit einer anderen als der Sinusform?
    Dann hätte ein Schallereignis bei jeder zeitlichen Verschiebung ein anderes Spektrum dieser "Obertöne" -- das heißt: Zwei gleiche Töne nacheinander hätten nicht den gleichen "Klang"! Und das wäre ein bisschen absurd, oder?
     
  12. Summa

    Summa wibbly wobbly timey wimey

    Ich denke am ehesten erklaert es folgende Animation, von der physikalischen Natur der Schwingung ausgehend kommt man ganz automatisch auf den Sinus als Basis oder hat schon jemand am Strand eine rechteckige Welle gesehen.

    [​IMG]

    Eine regelmaessige und gleichfoermige Schwingungsbewegung in einem bestimmten Takt/Frequenz erzeugt automatisch einen Sinus, das liegt in der Natur der Dinge...
    Ein Oberton ist ein Anteil einer leiseren hoeheren Frequenz, welche die Grundfrequenz ueberlagert und natuerlich den gleichen physikalischen Gegebenheiten wie der Grundton unterworfen ist. Wenn sie gleich laut oder lauter waere, waere es ein eigener Grundton.
    Eine Harmonische ist ein Oberton mit der n-fachen Grundfrequenz.


    src: https://youtu.be/s9GBf8y0lY0


    src: https://youtu.be/usHtqr0_HXU
     
  13. swissdoc

    swissdoc back on duty

    habe mir das nochmal durch den Kopf gehen lassen, also, was zeichnet den Sinus aus, vor z.b. einem Wavelet

    Der Sinus ist die Lösung der Differenzialgleichung DGL eines Harmonischen Oszillators http://de.wikipedia.org/wiki/Harmonischer_Oszillator und diesen zeichnet aus, dass er quasi der Prototyp einer Schwingung (linearisierung für kleine Auslenkungen) ist. Wenn man nun einen anharmonischen Oszillator anschaut, also ein Dingens mit eher nichtlinearen Anteilen, dann kann man die dazugehörige DGL nach Taylor entwickeln und die einzelnen Lösungen sind dann wieder Sinus-Schwingungen, der Weg zu Fourier ist wieder nicht weit.

    Das Thema Nichtlineare Dynamik, Chaos, Attraktoren und Fraktale Dimension lassen wir nun einfach mal aus, mehr dazu im Schuster oder bei Obi
     
  14. herw

    herw -

    naja, gerade die Strandwelle ist ein Gegenbeispiel einer Sinuswelle und damit auch der Sinusschwingungen. Die einzelen Schwinger (Wassertropfen) vollziehen keine Sinusschwingung.
     
  15. herw

    herw -

    das geht nicht, denn die harmonische Schwingung ist ein mathematisch „besonders leicht” zu bearbeitender Spezialfall und insofern wichtig, da man zu allgemeinen Aussagen kommt (Lösungsraum). Das Normale sind nichtlineare Schwingungen.
     
  16. herw

    herw -

    verstehe ich nicht
     
  17. Jens Groh

    Jens Groh aktiviert

    Ja, aber verschiebt man damit nicht nur das Problem? Was ist, wenn jetzt jemand fragt: Wieso ausgerechnet diese Diffentialgleichung, könnten wir nicht auch irgendeine andere nehmen, deren Lösung wir Prototyp (oder vielleicht Oberton) nennen? Prototypen sein können, wie gesagt, auch andere Kurvenformen, bis hin zur Nadelimpulsfolge.

    Aber eine Besonderheit (das wäre für mich Nummer 4) hast du genannt: Die Linearität.
    Mathematiker beweisen uns aus der Linearität der Diffentialgleichung, dass ihre Lösung eine Sinusform hat. (Entsprechendes auch für komplexere "Differentialgleichungsoszillatoren", solange diese linear sind.) Genaugenommen folgt aus der Linearität nicht der Sinus, sondern allgemeiner der gedämpfte Sinus, aber auch damit kann man jede Schwingung zusammensetzen. Was übrigens schon 12 Jahre vor Fourier gezeigt wurde!
    Aber dann verstehe ich immer noch nicht, was an Linearität so unverzichtbar ist. Bloß damit ein Sinus rauskommt, das hieße ja wieder im Kreis laufen.
    Schaunwer mal, Linearität liegt vor, wenn:
    F(a∙x(t)) = a∙F(x(t)) (Homogenität)
    und
    F(x(t)+y(t)) = F(x(t))+F(y(t)) (Additivität)
    Das sind genau die Dinge, die wir auch beim Zusammensetzen tun. Was schließlich auch Linear(!)kombination genannt wird.
    Aber warum können dann Linearkombinationen von anderen, nichtlinear erzeugten Schwingungsformen genauso eindeutig funktionieren? Wurde schon beantwortet: der Grund für Eindeutigkeit heißt Orthogonalität. Nicht etwa Linearität. Schade, wieder nix.

    Aber ich finds immer noch spannend, mein Spitzenkandidat ist immer noch Zeitinvarianz
    y(t)=F(x(t)) => y(t−t0)=f(x(t−t0))
    bzw. Energieerhaltung
    (sin(x))² + (cos(x))² = 1
    , die ja interessanterweise grundsätzlich zusammenhängen.
     
  18. swissdoc

    swissdoc back on duty

    In dem hier angefragten Kontext sollte man es schon auslassen, es bringt ja sicher nichts nun über die verschiedenen Bifurkationstypen, Bassins, Steifheit von DGLs oder gar numerische Lösungsverfahren zu diskutieren.

    Die Methodik in der Physik baut ja stark auf die Vereinfachung und die linearisierung, weil erst so die Lösungen analytisch darstellbar werden. Da passiert sozusagen die Physik. Reale Probleme löst man dann ja eh mit dem Rechner, aber das heisst ja nicht unbedingt, dass man was verstehen lernt.
     
  19. Jens Groh

    Jens Groh aktiviert

    Na ja, Klangfarbe ist die Struktur der Amplituden der Harmonischen (Grundton und Obertöne), d. h. wie laut jede Harmonische ist, aber unabhängig von der Gesamtlautstärke (und der Tonhöhe).
    Wenn wir nun umdefinieren würden, was Harmonische sind, gäbe es immer noch eine Harmonischenstruktur, und das wäre dann unser neuer Begriff von "Klangfarbe".
    Stell dir irgendeine periodische Schwingungsform vor. Und dann, dass sie in Komponenten zerlegt wird, die jetzt aber nicht mehr Sinus-Cosinus-Paare (a,b) sind. Vielleicht Rechteckschwingungen. Jede Komponente hat ihren festen Ort, aber einen individuellen Gewichtungsfaktor. Was würde sich an diesen Komponenten änderen, wenn man stattdessen eine zeitversetzte Version derselben Schwingung nähme? Nun, hier funktioniert der Trick eben leider nicht mehr, dass die Leistung (Energie pro Zeit), also die Amplitude zum Quadrat (A² = a²+b²), gleich bleibt und sich nur das Verhältnis a/b (=Tangens der Phase) ändert. Sondern es kann bei jedem Zeitversatz eine völlig andere Kombination der Rechteckschwingungen nötig sein, d. h. eine andere Harmonischenstruktur herauskommen. Auch Paare (ähnlich Sinus/Cosinus) würden da nichts helfen, weil es keine gäbe, bei denen a²+b² konstant wäre. Na ja, ehrlich gesagt, mir fallen nur keine ein, das wäre also noch zu untersuchen.
    Falls das nicht klarer war, dann sorry, ich kriegs nicht besser hin.
     
  20. swissdoc

    swissdoc back on duty

    Prototyp deswegen, weil (viele?) jede denkbare Schwingungsgleichunen für kleine Auslenkungen durch einen Sinus gelöst werden. Das Entwickeln von periodischen Funktionen in orthogonale Funktionen ist ja was ganz anderes.

    Hier liegt auch der Link von der reinen Mathematik, wo ich aufgrund von Axiomen, Sätzen, Lemmas und Beweisen mir ein Gedankenkonstrukt gebaut habe, also eigentlich immer um mich selber kreise (daher ja auch Geisteswissenschaft) in die Physik, wo es letztlich um reale Probleme geht.

    Linearität ist schön einfach, da kann man mit Papier und Bleistift schon was reissen. Geht man in die Nichtlinearität, so bekommt man doch einiges an hässlichen Themen zu spüren, auf einmal muss man sich über die genauigkeit der Starwerte Gedanken machen und die Starke Kausalität geht einem flöten.
     
  21. Jens Groh

    Jens Groh aktiviert

    Linearisierung ist praktisch, aber ich würde die ursprüngliche Frage nicht gerne beantworten: "Weil wir dann nicht solche Schwierigkeiten beim Rechnen haben."
    Nun ja, die meisten Sinusschwingungen dürften schon aus den weiten Bereichen der Naturgesetze stammen, die tatsächlich linear sind.
    Aber in der Mathematik hätten wir diese Beschränkung nicht. Und deshalb möchte ich mit ihrer Hilfe prüfen, ob es auch eine "nichtlineare Welt von Obertönen" geben kann. Der Gedanke mit dem nichtharmonischen Oszillator war ganz gut. Hmm, ich denke, ich könnte da was finden. Bin dann mal weg... :)
     
  22. Anonymous

    Anonymous Guest

    Zumindest die Frequenzanalyse im Ohr "weiß" auch etwas von Sinuschwingungen. Die Basilarmembran wird ja zu (näherungsweise) harmonischen Schwingungen angeregt, für jeden Ort längs der Membran eine anderen Frequenz. Ein Sinussignal regt da den schmalsten Bereich an.
    Insofern ist der Ansatz mit den harmonischen Schwingern und dem Sinus als "fundamentalwellenfomr" nicht nur in der Mathematik so praktisch, weil dann alles so elegant aufgeht, auch die Natur ist auf diese Idee gekommen.
     
  23. praios

    praios -

    ist es nicht auch so, wenn man versucht eine Sinusspannung (Sinusschwingung) mit einem RC-Glied zu filtern, dass nur eine Phasenverschiebung (die nicht hörbar ist) bewirkt, vll noch eine Amplitudenveränderung. Filtert man eine Rechtecksspannung wird die Spannungs-/Schwingungsform verändert, da die Aufladefunktion des Kondesators hinzukommt. Hat doch auch was mit harmonischer Schwingung zu tun...

    ich vermute mal, mathematisch gesehn ist ein Ton eine Sinusschwingung, weil sie harmonisch ist und ihre Ableitungen wieder eine harmonische Schwinung sind
    sin -> cos -> -sin -> -cons -> sin
     
  24. swissdoc

    swissdoc back on duty

    Uh, das Ohr und der ganzen Wahrnehmungsaparat. Tricky thing. Da kommt viel Wahrnehmung ins Spiel und auch nichtlineare Themen, die Frequenzauflösung der Basilarmembran ist gar nicht so hoch. Da kommen noch adaptive Mechnismen zum Zug. Daher auch die Verdeckungseffekte, die mp3 und Konsorten so schön ausnutzen können.
     
  25. swissdoc

    swissdoc back on duty

    Man macht das ja nicht aus Faulheit, sondern um auf den Grund der Dinge zu kommen. Man kann auch noch eine Reihe von Gliedern höherer Ordnung mitschleppen und bekommt dann Einsichten in den nichtharmonischen Oszillator.

    Aber der Spass fängt erst bei der Numerik an, so ein getriebener Van der Pol oder Toda Oszillator ist was Feines. Oder einfach ein Pendel, dass auch einen Überschlag machen kann, da ist dann die Analytik am Ende, das lässt sich dann nicht mehr geschlossen Lösen. Nix mit Bronstein-Integrabel.

    An anderen Stellen setzt man auch gerne PI = 4 oder so, geht dann einfacher zum Rechnen.
     
  26. Summa

    Summa wibbly wobbly timey wimey

    Ich denke die Verdeckung findet viel mehr im Kopf als im Ohr statt, denn da wird recht ordentlich komprimiert und vorsortiert, aus Erfahrung weiss ich dass man sich mit etwas Uebrung fuer eine kurze Zeit auf Frequenzbereiche konzentrieren und sie getrennt analysieren kann.
     
  27. swissdoc

    swissdoc back on duty

  28. Summa

    Summa wibbly wobbly timey wimey

    Naja, meiner Ansicht nach sind das zum grossen Teil psychoakustische Effekte, der Wissenschafter kann nur raten wie viel davon von der Ohrmechanik abhaengt und was bei der Datenverarbeitung dahinter passiert, das Ohr laesst sich nunmal schlecht ohne Hirn betreiben. Solche Erkenntnisse werden alle Jubeljahre revidiert, davon sollte man sich nicht knechten lassen ;-)
     
  29. swissdoc

    swissdoc back on duty

    Es steht Dir natürlich frei die Erkenntnisse der Forschung zu ignorieren, oder aber selber wissenschaftliche Versuche durchzuführen.

    Wenn Dich das Thema weiter interessiert, hier ist noch ein netter Artikel:
    http://de.wikipedia.org/wiki/Universali ... ahrnehmung

    Ansonsten gibt es viel Interessantes über Akustik hier zu lesen, ein Besuch in der örtlichen Bibliothek lässt sich wohl kaum vermeiden
    Acta Acustica united with Acustica http://www.acta-acustica-united-with-acustica.com/
    The Journal of the Acoustical Society of America http://asa.aip.org/jasa.html

    Ein Besuch des ISMA ist auch nett, diesmal Down-Under http://isma2010.phys.unsw.edu.au/

    Etwas näher ist sicher die DAGA, diesmal in Berlin http://2010.daga-tagung.de/
     
  30. Jens Groh

    Jens Groh aktiviert

    Ha! Bin fündig geworden.
    Eine nicht auf Sinuskomponenten zurückführbare Spektralanalyse gibts also, mit allem Notwendigen wie Energieerhaltung, und damit wissen wir, Linearität ist tatsächlich keine notwendige Bedingung, sondern nur eine hinreichende.

    Neuer Antwortversuch also:

    Die Sinusschwingung vereinigt einige mathematisch notwendige oder wünschenswerte Eigenschaften: Sie lässt sich nicht weiter in Sinusschwingungen anderer Frequenzen zerlegen und eignet sich deshalb als Grundelement (Harmonische, bzw. in der Akustik Grundton und Obertöne) einer Zerlegung. Weil sie selbst periodisch ist, macht sie besonders die Zerlegung periodischer Schwingungen einfach. Gepaart mit dem Cosinus, ergibt sie auch bei Zeitverschiebungen der zu zerlegenden Schwingung stets die gleichen Energiewerte der Zerlegungsfaktoren (d. h. der Harmonischen).
    Daraus allein ergibt sich aber kein mathematischer Zwang für die Sinusform als einzige Möglichkeit. Sie ist vielmehr das Ergebnis einer Eigenschaft vieler physikalischer Naturgesetze, und diese Eigenschaft heißt Linearität. Manche reale Schwingungen linear-physikalischer Herkunft sind bereits nahezu reine Sinusschwingungen, und für koplexere eignet sich das Zerlegen und Zusammensetzen von Sinus-Grundelementen gut als Modell. Auch die wesentlichen Gesetzmäßigkeiten der Akustik sind linear, und darum sind unsere Grund- und Obertöne Sinusschwingungen.

    Ich wäre damit erst mal zufrieden.
     

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